小物家具

2016年末に定年退職しました。 このブログでは、埼玉県比企郡鳩山町を中心にした植生写真を掲載します。 その他、その地誌、趣味の木工、旅行、お酒にも触れます。

ペンタゴナルシェルフの平面展開の可能性(その1):Dürer の平面充填

 1年程前に正5角形のシェルフ~ペンタゴナルシェルフ~を設計試作しました。
Photo. 1 をご覧ください。
これがペンタゴナルシェルフです。
正六角形のシェルフ~ヘキサゴナルシェルフ~は目にしたことがあると思いますが、ペンタゴナルシェルフはあまりなじみがないと思います。
その理由は、ペンタゴナルシェルフは複数配置した際に充填が利かないため平面配列に難があるという点にあると考えています。
これに対して、ヘキサゴナルシェルフはハチの巣状に面展開が可能で平面状に配列が可能で見た目にも安定感があります。
Photo. 2 をご覧ください。
ペンタゴナルシェルフを製作してから、ペンタゴナルシェルフを連結して面展開ができるかどうかが気になっていました。

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Photo. 1   ペンタゴナルシェルフ



 突然ですがあなたが今タイル職人であると仮定してみてください。
タイルを隙間なく敷き詰めることがあなたの生業です。
仕事を効率的に行うには、1種類のタイルで隙間なく敷き詰めることが要件となります。
それでは、そのタイルの形状は何でしょうか。
話を簡単にするため、その形状を正多角形に制限しましょう。
そうしますと、正三角形、正方形、正六角形の3種類のみであることが理解いただけると思います。
このことは、ピタゴラスが証明してるそうです。
皆様もこの証明にトライしてみてください。
正五角形では平面を隙間なく敷き詰めることができないことは紀元前の古代以来自明の事実なのです。

 さて平面を平面図形で隙間なく敷き詰める操作を平面充填 ( plane filling )  と言います。
平面敷き詰めタイリング ( tiling ) 、テセレーション ( tesselation )ともいいます。
平面充填は数学的には古典幾何学的な問題と言えますが、現代ではアート的な側面もあります。
ここで平面充填を定義しておきましょう。

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Definition 1
 平面を有限種類の平面図形で隙間なく敷き詰める操作を平面充填という。
またその平面全体を平面充填形という。
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Remarks
1.平面充填できる平面図形を1種類のみでかつ正多角形に限定すると、正三角形、正方形、   正六角形のみです。
2.平面図形は1種だけでなく複数種使用できるが、種類は有限に限定される。 
3.平面充填形に周期性があるかどうかで平面充填は大きく2分されます。
       (1) 周期的平面充填
       (2) 非周期平面充填

 さて過去に何人かの著名人が正五角形を含めた有限種類の平面図形で平面充填にトライしています。
15世紀ルネサンス期のドイツの画家である Albrecht Dürer(アルブレヒト・デューラー)が先駆者です。
今回はこの Albrecht Dürer について説明します。

その平面充填図形は Dürer's tiling と呼ばれていますが、Photo. 3 に示します。
これは、Dürer's thin tilingと呼ばれています。

Photo. 3 は、平面充填ができます。
平面充填の様子を Figure 1 に示します。
この平面充填には、2種類の平面図形が使われます。
Figure 1ではこの2種類の平面図形をシアンとイェロウで色別しています。
ひとつは正五角形 (regular pentagon ) であり、他は菱形 ( rhombus ) です。
正五角形の内角は180×(5-2)/5=108°ですので、Figure 1 より菱形の鋭角の内角は360-108×3=36°であり鈍角の内角は 360-108×2=144°となることがわかります。
この鋭角の内角の数値から、英語文化圏ではこの菱形を10-rhombus と呼んでいます。
この10の意味は、鋭角内角の数値 36°をラジアンで表示した際の 36°=2π/10 の分母の 10 に由来します。


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Photo. 3  Dürer's thick tiling (引用:http://gruze.org/tilings/durer_construction


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Figure 1  Dürer's thick tiling平面充填形


ここで別のDürer's tilingPhoto. 4 に示します。
これは、Dürer's thick tiling と呼ばれています。
Photo. 4 は、平面充填ができます。
平面充填の様子を Figure 2 に示します。
この平面充填には、3種類の平面図形が使われます。
Figure 1ではこの3種類の平面図形をシアンとイェロウとオレンジで識別されています。
ひとつは正五角形 (regular pentagon ) であり、他は2種類の菱形 ( rhombus ) です。
この2種類の菱形のひとつは先に紹介した10-rhombusです。
正五角形の内角は180×(5-2)/5=108° を用いると、もう一方の菱形の鋭角の内角は (360-108×2)/2=72°であり鈍角の内角は 360-108×2-36=108°となることがわかります。
この鋭角の内角の数値から、英語文化圏ではこの菱形を5-rhombus と呼んでいます。
この5の意味は、鋭角内角の数値 72°をラジアンで表示した際の 72°=2π/5 の分母の 5 に由来します。


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Photo. 4  Dürer's thick tiling (引用:http://gruze.org/tilings/durer_construction


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Figure 2  Dürer's thick tiling平面充填形


 それでは最後にこれまで述べてきた Dürer's tiling を参照してペンタゴナルシェルフ複数配列に適用することにしましょう。
まずはDürer's thick tiling からはじめましょう。
一例として、Figure 3 をご覧ください。
4個のペンタゴナルシェルフを配列してみました。
ウォールに4個のペンタゴナルシェルフを固定することで連結シェルフを構成できます。
この場合菱形のシェルフが無くても安定的に固定できそうです。

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Figure 3 Dürer's thick tiling 参照のペンタゴナルシェルフの連結シミュレーション:
4個のペンタゴナルシェルフ


次にDürer's thick tilingを検討してみましょう。
一例として、Figure 4 をご覧ください。
5個のペンタゴナルシェルフと2個の菱形シェルフ ( 5-rhombus ) を配列してみました。
この場合は5個のペンタゴナルシェルフのみではいささか不安定なので、2個の菱形が必要と考えます。
 
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Figure 4 Dürer's thin tiling 参照のペンタゴナルシェルフの連結シミュレーション:
5個のペンタゴナルシェルフと2個の菱形シェルフ ( 5-rhombus )


 どうでしょうか。
いずれの場合もヘキサゴナルシェルフとは異次元の趣があるとは思いませんか。




折敷(木製ランチョンマット)の第2報

「折敷(木製ランチョンマット)を試作しました」のご報告の直後、追加でさらに折敷(木製ランチョンマット)2枚作製しました。
この2枚も柿渋で塗装しました。
合わせて折敷4枚です。
 
 塗装に初めて柿渋を使用しましたので、柿渋の上に塗るコートとして何を使用するのがいいのか検討しました。
調査してみると木工用みつろうクリーム(尾山製材株式会社)という解に出会いました。
木工用みつろうクリーム(尾山製材株式会社)は、蜜蝋、富山県産なたね油、亜麻仁油、椿油、青森県産ヒバ油を使用しているようです。
早速入手して柿渋で塗装した折敷の上にコートしてみました。
撥水性も良く、仕上がりもなかなか良いです。

 合わせて4枚の折敷の内の2枚を6月、7月と2か月我が家にて毎日の朝昼晩の食事に使用してみました。
これは、コートに使用した木工用みつろうクリームを評価するためです。
2ヶ月使用してみて、以下の事項がわかりました。

1)撥水性は維持できること。
2)汚れは、水で濡らした布を搾って拭き取れること。
3)カレーや赤ワインの汚れも、付着した直後であるならば水で濡らした布を搾って拭き取れること。


ということで4枚の折敷の内、試験用の2枚はそのまま我が家で使用することにして、未使用の2枚を鳩山町コミュニティーマルシェに出展することにしました。


 さてこの折敷には、本ざね端ばめ接ぎ(ほんざねはしばめつぎ)という仕口を使用しています。
ここでPhoto. 1 をご覧ください。
これが製作直後の折敷本ざね端ばめ接ぎの接合部の拡大写真です。
写真では明瞭でないかもしれませんが、製作当初は板目材Aの木端と柾目材Bの木口は面を合わせていました。
次にPhoto. 2 をご覧ください。
Photo. 1と同一の未使用の折敷の同一の部分を本日ただ今撮影したものです。
板目材Aの木端と柾目材Bの木口は、面が一致していないことにお気づきでしょうか。
これは、実は湿気のなせる業です。
以降その理由を解説いたします。


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Photo. 1 製作した6月初めの折敷の接合部の写真


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Photo. 2  Photo.1 と同一の折敷の接合部:本日撮影

 
 この現象を理解するためには、次の2つの事実を理解する必要があります。

事実 1)木材は、吸湿すると膨潤すること [1]
事実 2)膨潤の程度に異方性があること [1]

事実 1)は、木材は湿度と温度に応じて空気中の水蒸気を吸収しその結果膨らむという事実を言っています。
事実 2)は、その際に膨らむ程度は等方的ではなく異方性、すなわち木材中の方向によって違いがあるという事実を言っています。

 さて木材には基本方向が存在します。
Photo. 3 をご覧ください。
切株の写真です。
この写真に示しますように、3種類の基本方向が存在します。

1)軸方向、幹軸方向、繊維方向:longitudinal direction
2)放射方向、半径方向:radial direction
3)接線方向:tangential direction

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Photo. 3  木材の基本方向:軸方向、放射方向、接線方向 


 次に板目材と柾目材を例に挙げて、それぞれの板材の基本方向がどうなっているかを検討してみましょう。
Photo. 4 をご覧ください。
板目にしろ柾目にしろ、次のように要約できます。
1)軸方向:木目の走る方向、通常の板材の長さの方向
2)接線方向:木目と直交する方向、通常の板材の幅の方向
3)放射方向:通常の板材の厚さ方向


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Photo. 4  板目材と柾目材での3種類の基本方向

 最後に上記3種類の基本方向で膨潤の程度がどのように違うのかという事実を説明します。

事実 3)膨潤率異方性は、およそ下記となること [1]

         接線方向:放射方向:軸方向=20:10:1

つまり、通常の板材では膨潤率
 
         幅方向:厚さ方向:長さ方向=20:10:1

になると言い換えられます。

 ここで折敷に戻りましょう。
折敷を構成するすり合わせ矧ぎした板目材端ばめ接ぎした柾目材での基本方向を考察してみましょう。
Photo. 5 をご覧ください。
Photo. 2 での面落ちに原因するのは、Photo. 5 でのY方向となります。
すり合わせ矧ぎした板目材AではY方向は接線方向であるのに対して、端ばめ接ぎした柾目材Bでは軸方向となります。
事実 3)から、すり合わせ矧ぎした板目材AのY方向の膨潤端ばめ接ぎした柾目材BのY方向の膨潤の20倍の程度と推定されます。
この1桁以上の膨潤の差異が、Photo. 2 に示すような段差を生むでいるものと理解できます。



折敷
Photo. 5  折敷の板目材と柾目材の基本方向

 
 ここで、皆様の疑問にお答えします。
皆様はすり合わせ矧ぎした板目材端ばめ接ぎした柾目材は、互いに接着剤で固定しているのでPhoto. 2 のような段差は生じないはずでしょうと疑問に思っているのではないかと推測されます。
実はこの試作品の場合は、すり合わせ矧ぎした板目材端ばめ接ぎした柾目材は中央部の1/3程度の部分にだけ接着剤で固定していたのです。
今までに記載していたことは、製作時には想定済みのことでした。
仮に部分接着ではなく全面で接着固定しますと、膨潤時は端ばめ接ぎした柾目材に引っ張り応力が生じますので端ばめ接ぎした柾目材に割れやクラックが発生することが予想されます。
そのため、端ばめ接ぎを採用する場合はこの現象を回避する策を打つ必要があるのです。
今回は、部分接着という策を打ってみました。
これはこれで今のところ問題は生じてないようです。

 ということで、未使用の2枚を鳩山町コミュニティーマルシェに出展しました。

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[参考ウェブサイト]
柿渋、折敷、本ざね端ばめ接ぎ、すり合わせ矧ぎ、板目、柾目などの木工用語


[参考文献]
[1]:職業能力開発総合大学校. 木工材料. 職業訓練教材研究会. 2013. pp46~50. ISBN978-4-7863-1096-6


ボビンラックを試作しました!

 上さんからの要請で家庭用ミシンのボビンラックを試作しました。

ミシン糸たてとかミシン糸ラックとかとも呼ばれているものです。

こう呼ばれているもののほぼすべてが、ミシン糸の穴を通す棒をたてて収納する方式をとっています。

ミシン糸のボビン1個に対して、棒を1本立てることになります。

従いましてボビンを50個100個収納しようとすると、棒を50個あるいは100個立てる必要があります。

しかし棒を50個100個整然と美しく平行を維持して配列するのは、かなり困難ですというか無理です。

しかもその数だけ板に穴を開けるのかなり面倒です。

そこで今回の試作では、わたし流の別の方式を採用することにしました。


 Photo. 1をご覧ください。

構造は極めてsimpleです。

基本は、框組の構成です。

厚さ24mm幅45mmの杉板材でを構成しました。

今回は試作ですので縦框横框の交差部の接手には、ビスケット接合を適用しています。

この接手仕口は、枘接ぎ留め接ぎなどの意匠を凝らした各種接手にもでき和風洋風にアレンジできます。

この框構成の両側の縦框に1対2本の丸棒を渡してボビンを収納する棚1列を構成しています。

今回は6列の棚を設けました。




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Photo. 1  試作したボビンラック:無垢杉板と広葉樹丸棒


 このままでは、壁に掛けて使用する形態(壁掛けスタイル)を想定しています。

Photo. 2 をご覧ください。

今回は間に合わせで壁ピンを使用していますが、実際は市販の壁掛け用金具を使用することになります。



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Photo. 2  試作したボビンラック壁掛けスタイルでの使用


 

 ボビンの収納の仕方には、横置きが基本です。

Photo. 3 をご覧ください。

横置きでは、ボビンサイズの大小にかかわらず収納できます。

下から3列目の棚の様に、小さいボビンは縦置きに収納することができより高密度にて収納できます。



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Photo. 3  試作ボビンラック壁掛けスタイルでボビンを収納した状態

 

 なおPhoto. 4 に示しますように、着脱可能な脚を2本用意しています。

この着脱可能な脚には、欠込み(かきこみ)を入れてあります。

欠込みの形状は、縦框の断面の矩形と同じにしています。

従いまして、左右の脚を左右の縦框にはめ込みますとPhoto. 5 の様になります。

これで自立してデスクトップ上に据え置きできます(デスクトップスタイル)。


 

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Photo. 4  試作したボビンラック着脱可能な脚2個



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Photo. 5  着脱可能な脚を履いた試作ボビンラック

自立できデスクトップに据え置きできます。



 デスクトップ上に据え置きボビンを収納した試作ボビンラックPhoto. 6 に示します。
こんかいはすべてまだ塗装をしていない状態での写真でしたが、オイルフィニッシュあるいは柿渋で塗装をするつもりです。

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Photo. 6  試作ボビンラック:デスクトップ上に据え置きボビンを収納

折敷 (木製ランチョンマット) を試作しました。

 折敷ご存知でしょうか。
まず折敷は ”おりしき" ではなく、”おしき” と読みます。
主に懐石膳で使用するもので、器の下に敷く木製の敷物です。
言わば、木製のランチョンマットとお考えください。

 ところで、よく似た木製品にお盆があります。
折敷お盆ととどこが違うのという当然の疑問がわきます。
精選版日本国語大辞典によれば、次のように定義されています。

(1) 折敷:檜の片木(へぎ)で作る角盆。食器などを載せるのに使った[1]
(2):浅い縁のある、物をのせて運ぶための板状の具。材質は木、金属、プラスチック、竹などで、形も方形、円形など種々ある[2]

この定義はかなり狭義に規定していますが、両社の差異をきわだたせるのには好都合です。
つまりは、折敷とはのカテゴリーに含まれます。
しかしながら、材質は桧材(木材)で形状は角形でありかつまた物を乗せて運ぶような使用はしない食器など載せるために使用すると規定されます。

今回試作した折敷 2 枚を Photo. 1 , 2, 3 に示します。
材は、杉無垢材です。
サイズは、460mm(W)×330mm(H)×10mm(H)です。
折敷の中央の板目[*]の板材は、幅110mm長さ340mmの板目の杉板材を3枚つなげて接合し幅を330mmとしています。
この仕口をすりあわせはぎ(矧ぎ)[*]またはいも接ぎ[*]といいます。
このすりあわせ矧ぎした中央の板材の両側に、幅60mm長さ330mmの柾目[*]の杉板をほんざね端ばめ(本実端嵌め)接ぎ[*]で接合しています。

 塗装は、柿渋[*]を初めて使用してみました。
以前から使用してみたいと思っていましたが、今回無臭柿渋の存在を知り早速入手しました。
柿渋に着目した第一の理由は、柿渋の特徴である高い防水性・防腐性です。
折敷はその使用形態から水分と接触する頻度が高く、防水性のある塗装が要請されます。
防水性能の高い塗料は他にもありますが、やはり折敷には和風が要請されます。
柿渋は、和の伝統的な防水性の塗料ということで最適候補に間違いありません。
塗装直後は柿皮のような赤系色を薄め淡くしたような色調です。
これが経年で柿渋の主たる成分である柿タンニンが酸化され、茶褐色に色調が変化していきます。
半年後、1年後が楽しみです。


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Photo. 1 試作した折敷(おしき)2枚:木製ランチョンマット

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Photo. 2 試作した折敷(おしき)APhoto. 1 の右側の1枚

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Photo. 3 試作した折敷(おしき)B:Photo. 1 の左側の1枚


 試しに食器を折敷の上に配置してみました。
Photo. 4 をご覧ください。
まずは和食器です。
お茶碗、木椀、染付中皿、箸を載せてみました。
この染付中皿は、わたし流ではお刺身の盛り付けに好んで使用しています。
いかがですか、和食器は杉の木目となじみ両者良く整合性がとれています。
次に洋風食器です。
Photo. 5 をご覧ください。
わたし流では洋食によく使用する大皿とフォーク&ナイフ、ワイングラスを持ってみました。
中央の板目の杉板材の横方向の木目は、大皿の色調と喧嘩はせずなじんでいるように見えます。
また中央の板目の杉板材の両側の縦板材の柾目の縦方向の木目は、配置したフォークナイフと平行に走り調和性を持たせています。
結論として、試作の折敷は和食器のみならず洋風食器にも対応しているといえます。


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Photo. 4 折敷 Aに載せた和食器:お茶碗、木椀、染付中皿、箸と箸置き

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Photo. 5 折敷 Bに載せた和食器:大皿とフォークナイフ、ワイングラス


[参照サイト]
[1]: https://kotobank.jp/word/%E6%8A%98%E6%95%B7-40253
[2]: https://kotobank.jp/word/%E7%9B%86-134950

[専門用語の解説]

スリッパラックを作製しました。

 家人に要請されて、スリッパラックを作製してみました。

photo.1 をご覧ください。

ギギliving社のユニークなスリッパラックにインスパイアされたもので、オリジナルではありません。

奥行きが100mmですので、玄関先に邪魔にならず省スペースで設置可能です。

構造は、きわめてsimpleです。

正面の前板の木端[*]木口[*]の縁は、丸面取り加工[*]をしています。



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Photo.1  スリッパラック

 


 掃除の際に片手で持ちあげるための取手穴を背面につけてみました、これはオリジナルな点です。

正面とは異なり、背面の後板の縁は丸面取りではなく無加工です。

正面前板と背面後板を入れ替えても、使用可能です。

表情が変わってきます。

Photo. 2  をご覧ください。


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Photo.2  スリッパラック



 材料は、SPF無垢です。

サイズは、500mm(W)×100mm(D)×130mm(H)です。

塗装は、オイルフィニッシュワトコオイルダークウォルナット)です。

なお詳細は、木木木の工房(http://infinity-00.com/photo/album/583370)をご参照ください。

また記事中の[*]で標示した木工用語は、木木木の工房http://infinity-00.com/free/glossary)でご確認できます。


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プロフィール

nonchan

ブログデビューしたてのビギナーです。 定年リタイア後、ルーティンとして週5のウォーキングと週2のスイミングを課してます。 ブログでは、わたし流の生活から派生した事項を載せるつもりです。 まずは、ウォーキング中に撮影した自宅付近の植生の写真を載せます。 趣味の木工も掲載しようかと考えています。