組木

2016年末に定年退職しました。 このブログでは、埼玉県比企郡鳩山町を中心にした植生写真を掲載します。 その他、その地誌、趣味の木工、旅行、お酒にも触れます。

螺旋組技法の原理

 1年ほど前に螺旋組を試作した記事を書きました。
その際に螺旋組の技法原理を書くことをお約束してました。
このところ暑い日が続いていて、木工作業が出来ずにデスクワークに制限されています。
ということで、この際記事にすることにしました。

 Figure 1 をご覧ください。これが最も単純な螺旋組三角螺旋組ーです。
3本の角材から構成するものです。
この三角螺旋組を基にして、この技法の原理を解説してゆきます。

3本螺旋組 仕上
Figure 1  三角螺旋組


 まずFigure 1 の角材1本を抜き出します。
これを、角材 $A$ とします。
Figure 2 をご覧ください。
角材中2か所に溝、切り込みを掘り込んだ構造になっています。
Figure 3 に $Z$ 方向から見た図(平面図)と $X$ 方向から見た図(立面図)を示しています。
角材のサイズパラメータとしては、長さ $L$ 、厚み $d$ 、幅 $w$ の3種類です。
掘り込む溝の加工パラメータとしては、角材の木口から溝までの距離 $s$ と溝の深さ $x$ の2種類です。
溝に角材をはめ込むので、溝幅は角材の幅 $w$ と等しくなります。
溝は木端に対して直角ではなく60°傾いています。
全体的には、角材の中心に関して点対称となっている構造であることに注意してください。

角材1
Figure 2 三角螺旋組を構成する角材 A を抜き出した図

角材2

Figure 3 Figure 2角材 $A$ の投影図
上:平面図   下:立面図


 溝の幅 $x$ を決定することが、これからの議論の目的です。
Figure 1 の他の2個の角材 $B$ 、$C$ は、Figure 4 に示しますように角材 $A$ と合同となってますことにご注意ください。
さて角材 $A$ と $B$ を嵌め合わせます。
Figure 4 の中の角材 $B$ を時計方向に60°回転させて、角材 $A$ の表面に切った溝に角材 $B$ の裏面に切った溝をはめ込みます。
ここで角材 $B$ を角材 $A$ に押し込みます。
こうすることで、Figure 5 の様になることをご理解いただけますでしょうか。
角材 $B$ を角材 $A$ に押し込んでますので、角材 $B$ の表面と角材 $A$ の表面は面一でなく角材 $B$ の表面と角材 $A$ の表面から面落ちします。
もちろん、面落ちの程度は溝の深さ $x$ に依存します。




角材3

Figure 4 三角螺旋組を構成する角材 $A$,  $B$,  $C$ :角材はすべて合同

角材4

Figure 5 角材 $A$ と角材 $B$ の嵌め合い


 Figure 5 の正面図と立面図をFigure 6 に示します。
もうお分かりですね。
Figure 6 の正面図に開口部が見えています。
この開口部に3番目の角材 $C$ を貫通させることで、三角螺旋組が成立します。
これからの議論では、この開口部の空き間サイズを評価することになります。

角材5
Figure 6  Figure 5 の投影図
上:平面図   下:立面図


 Figure 7 をご覧ください。
この図面は、Figure 6から角材 $A$ と角材 $B$ を抜き出して投影したものです。
図中下の正面図に水平に描かれた紅赤色の実線に注目してください。
この実線は、角材 $A$ の図中左の表面に切った溝の底部のレベルを表しています。
この実線は角材 $B$ の図中左の裏面に切った溝の底部を通るはずです。
何故ならば角材 $A$ と $B$ は、各角材の各溝のこの底部で接しているからに他ありません。
実際にFigure 7においても、紅赤色の実線は角材 $B$ の図中左の裏面に切った溝の底部を通っています。




角材6

Figure 7  Figure 6 から角材  $A$ , $B$ を貫題した投影図
上:平面図   下:立面図

 ここでサイズパラメータとして溝深さ $x$ の他に、$y$ と $z$ という2つのパラメータが出てきます。
図から明白のように、 $y$ と $z$ は $x$ の関数で、次式となります。

\[y = d - x\]
\[z = x - y = x - (d - x) = 2x - d,    ...[1]\]

 さていよいよ仕上です。
Figure 8 をご覧ください。
この図は、Figure 5 の投影図でFigure 6 と同じですが情報の書き込みがあります。
Figure 6 の説明で問題となった開口部の空き間サイズ、この図面では $G$ で表現されていますが、これを評価しましょう。
Figure 7 から明らかなように、$G$ は下記となります。
\[G = 2z\]
[1] より、
\[G = 2(2x - d),    ...[2]\]
となります。



角材7
 Figure 8  Figure 6 と同じでFigure 5 の投影図:必要情報が記載されてます


 角材 $C$ がこの開口部を貫通できるためには、次式を満足すればよいといえます。
\[G \geq d\]
[2] を使えば、次式が得られます。
\[x \geq  \frac{3d}{4},    ...[3]\]
これが結論です。
なお角材 $C$ は、角材 $A$ , $B$ と合同であるということにしました。
しかしながら角材 $C$ は、Figure 8 の開口部に貫通させるだけです。
従いまして角材 $C$ の溝の深さは、角材 $A$ , $B$ と同じにする必要がありません。
角材 $A$ , $B$ の溝と嵌め合った際に面一になればよいので、角材 $C$ の溝の深さは少なくとも $\frac{d}{4}$ であればよいといえます。

 今までの議論の理解の延長線上に乗るのが、6本螺旋組となります。
Figure 9 をご覧ください。
これが6本螺旋組です。
Figure 9 の平面図を Figure 10 に示します。
6本螺旋組の構成要素が、3本螺旋組であることがご理解いただけますでしょうか。
3本螺旋組の議論を敷衍すると、6本螺旋組の場合も [3] が成立することを証明できます。
思考実験をあるいは製作を試みてください。
なおこの6本螺旋組文様群の $p6$ 群に属していますので、平面を埋めることができる文様であることを付言しておきます。


6本螺旋組 v1
Figure 9 6本螺旋組


6本螺旋組 v2
Figure 10 Figure 96本螺旋組の平面図

[関連サイト]

Kurt NAEFに関して:蟻組接ぎの延長線上の話題

Kurt NAEFをご存知でしょうか。
木製玩具のデザイナーですが、その中でもNaef spielという名称の木製積み木が有名です。
スイスの玩具メーカであるNAEF社を創業もしました。
その作品の中にPhoto. 1 に示すような2次元で展開する積み木NAEFの積み木)があります。
この存在を知ったのは、阿部藏之さんの記事 [1] からでした。
その記事の中でこの作品を再現した写真が掲載されていて、それに大いに刺激されました。
そこで私も試作再現を試みました。


011
Photo. 1  Kurt NAEFの作品(写真引用:http://tectonicablog.com/?p=88674


 Photo. 2 をご覧ください。
構成ユニットとしては、
(1)ブロック
(2)サネ(核)
の2種類です。
この命名は、わたし流です。
サネは対向するクサビの形象をしていて、言わば対向するとも言えます。
ブロックはクサビを納める溝が4方向にあり、この溝は言わば蟻穴と表現できます。
Figure 1 をご覧ください。
前回の記事からの引用の図面で、蟻穴を表示しています。
このNAEFの積み木阿部藏之さんの記事 [1]にもありますように蟻組接ぎの延長線上にとらえることもできます。


IMG_20190429_135506
Photo. 2  NAEFの積み木の構成ユニット:ブロック(左)とサネ(右)

 
蟻接ぎv8

Figure 1  :日本の伝統的建築に使用されている基本的継手仕口


 さてブロック同士はサネを介して結合され、4方向に展開していき2次元的な積み木となります。
なお今回の試作再現では、手元にある材を用いました。
具体的には、ブロックにホワイトウッド材、サネに杉材を用いました。

 Photo. 3 をご覧ください。
積み木(2次元的展開)の1例です。
ブロックサネの色調のコントラスト、またブロック同士(サネ同士)の木口の年輪の向きの対比がとても印象的ではありませんか。


IMG_20190429_135221
Photo. 3  NAEFの積み木の展開例その1


 さてPhoto. 4 に示しますように、ブロック1個とサネ1個を結合するとまるで人型に見えます。
これを横に1次元的に展開しますと、Photo. 5 に示しますように手をつなぐ人型の集団の様に見えます。
なにやら楽しげにも見えます。
このような見方をしますと、Photo. 3の展開例その1も手をつなぐ4個の人型が縦方向に4列縦隊して行進しているかのようにも見えてきます。



IMG_20190429_135349
Photo. 4  NAEFの積み木のブロック1個とサネ1個の結合:人型

IMG_20190429_140143
Photo. 5  NAEFの積み木の展開例その2:手をつなぐ人型


 次に Photo. 6 をご覧ください。
これは Photo.3 の展開例その1の一部のサネを取り除いたものです。
Photo. 3 では明瞭ではありませんでしたが、円形に近接したような造形ブロック4個で形成されているのが浮き上がってきます。
円形に近接したような造形Photo. 7 に拡大して示します。


IMG_20190429_135857
Photo. 6  NAEFの積み木の展開例その3


IMG_20190429_135929
Photo. 7  ブロック4個で形成される円形に近接したような造形


 今回は手持ちの材であるホワイトウッド材と杉材を用い試作しました。
ともに柔らかい材であり加工も容易だったのですが、加工後の木材繊維の毛羽が目立つ結果となりました。
次はより硬い材を用いかつ加工精度も上げる必要がありそうです。
しかしこのNAEFの積み木は、2次元的に展開する際にブロックとサネの配向で木口の木目模様が変化するため配向の仕方を変えると全体の表情も変化します。
従いましてブロックとサネの結合の仕方の他に、配向という要素が加わるため豊富なバリエーションを提供してくれそうです。


[参考資料]

回転型4方十字組手(3本組木)技法の原理

 この記事では、スライド型に引き続き回転型4方十字組手(3本組木)技法の原理を説明します。
ここでの説明では、角材の厚さ及び幅を 2t とした場合について説明をいたします。
Figure 1 をご覧ください。
回転型4方十字組手(3本組木)を構成する3種類の角材のサイズを表示しています。
各角材の外寸法は同一で、角材の長さ L、厚さ 2t 、幅 2t は共通です。
ここで注目することは、各角材ははめ合い部の構造にそれぞれ差異があることです。
このはめ合い構造の差異から、異なる構造の材を各々材 A, B, C と識別・命名いたします。
なお各材のはめ合い部の幾何的形状を明確化するため、上方から眺めた図面をFIGURE 2に示します。

 角材のはめ合い部の構造上の特徴を確認します。
1)材Aは中央部に長手方向に階段状の構造を2個持ち、両者は90°の捻り関係になっています。
2)材Bは中央部に1辺が 2t の立方体状の大きな切欠きを持ち、直径 t で長手方向に長さ 2t の円柱部で接いだような構造を持ちます。
3)材Cは材Bの円柱部を正方柱(1辺 t の正方形を底面とし高さ 2t の正方柱)で置換した構造を持ちます。


FIGURE 1 材A,B,Cのサイズ

回転型 準備 前 v1
FIGURE 2 FIGURE 1を上方から見た図面


 回転型型4方十字組手(3本組木)を構築する手順を下記に記載します。
1)FIGURE 3 に各材 A, B, C の配位関係を示します。

回転型 N1 v1
FIGURE 3  手順1)材 A, B, C の配位関係

2)材Aに材Bを寄せ、材Bの円柱部を材Aの階段状切欠きに挿入します(FIGURE 4)。

回転型 N2 v1回転型 N2 前 v1
FIGURE 4 手順2)材 A に材 B を挿入
左:3D図、   右:前方からの2D図

3)材Aに材Cを寄せ、材Aの階段状切欠き部に材Cの正方柱状の部位をはめ合います(FIGURE 5)。

回転型 N3 v1
回転型 N3 前 v1

FIGURE 5 手順3)材 A に材 C を挿入
左:3D図、   右:前方からの2D図

4)材Bを材Bの長手方向を軸方向として180°回転させ、4方十字を組みます(FIGURE 6)。
これで完成です。

回転型 N4 v1回転型 N4 前 v1
FIGURE 6 手順3)材 B を回転させ4方十字とする
左:3D図、   右:上方からの2D図

 ここでこの回転型4方十字組手(3本組木)を総括いたしますと、上記手順において各角材の操作において並進操作だけでなく回転操作を含むことでした。
従いましてこの方式が回転型と呼ばれる所以です。

スライド型4方十字組手(3本組木)技法の原理

  昨日の記事(4方十字組手(3本組木)を作製しました(続き:スライド型)!!)で、スライド型4方十字組手(3本組木)を製作したことを記載しました [1]
この記事では、スライド型4方十字組手(3本組手)技法の原理を説明します。

ここでので説明は、角材の厚さを t としかつ角材の幅を 2t とした場合について説明をいたします。
Figure 1 をご覧ください。
スライド型4方十字組手(3本組木)を構成する3種類の角材のサイズを表示しています。
各角材の外寸法は同一で、角材の長さ L、厚さ t 、幅 2t は共通です。
ここで注目することは、各角材ははめ合い部の構造にそれぞれ差異があることです。
このはめ合い構造の差異から、異なる構造の材を各々材 A, B, C と識別・命名いたします。

 角材のはめ合い部の構造上の特徴を確認します。
1)材 A は、中央に中心線に線対称な穴状の矩形(サイズ2t×t)の切欠きがあります。
2)他方材 B は、中心線に非対称的な穴状の矩形(サイズ3t/2×t)の切欠きに加えて木端に達する切欠きを持つ特異的な構造をとります。
この切欠きの特異性が重要な意味を持ちます。
3)材 C は、材 A と同様な中央の中心線に線対称な穴状の矩形の切欠き(サイズ2t×t)に加えて中心線に対称な木端に達する切欠きを持ちます。


FIGURE 1  材 A, B, C のサイズ

 スライド型4方十字組手(3本組木)を構築する手順を下記に記載します。
1)FIGURE 2 に各材 A, B, C の配位関係を示します。


3本組木 v3 N1-2

FIGURE 2 手順1)材 A, B, C の配位関係


2)次に材 A の中央の穴状の切欠き部に材 B を挿入し、FIGURE 1 に示した材 B の直線部 l が材 A の手前の表面に到達したところにセットします(FIGURE 3 参照)。
FIGURE1ならびにFIGURE 3 の右側の上からの2D図面にて、材 B の木端に達する切欠きサイズが t であり、次のステップにて材 C がこの切欠き部を通過可能であることをご認識願います。
3本組木 v3 N23本組木 v3 N2-上


FIGURE 3 手順2)材 A に材 B を挿入
左:3D図、   右:上方からの2D図


3)次に材 C の中央部の穴状切欠きを材 A に挿入し図の手前側に引き込み、材 B切欠き部を通過させ材 B に寄せます(FIGURE 4 参照)。
ここで材 B のもつ特異的な切欠き構造の意味をご理解いただけるかとおもいますが、いかがでしょうか。

3本組木 v3 N3-3本組木 v3 N3-上
FIGURE 4 手順2)材 A に材 C を挿入
左:3D図、   右:上方からの2D図

4)最後は材 B を押し込み、これで4方十字組手完成となります(FIGURE 5 参照)。

3本組木 v3 N4-3本組木 v3 N4-上
FIGURE 5 手順2)材 B を押し込む
左:3D図、   右:上方からの2D図

 ここでこのスライド型4方十字組手(3本組木)を総括いたしますと、上記手順において各角材の操作において回転操作を含まずすべて並進操作のみでした。
従いましてこの方式がスライド型と呼ばれる所以です。
なお上記説明では、簡単化のため各角材の厚さを t 、幅 を2t としました。
厚さと幅は、もちろんこれに限定されることはありません。
一般的には、厚さ t 、幅 wに拡張されます。
ただし t<w です。
一般化を試みてください。
別の記事にて回転型について詳細を説明することになりますが、この方式の原理についても想像をしてみてください。


参照サイト

4方十字組手(3本組木)を作製しました(続き:スライド型)!!

今回の記事のタイトルは、以前書いた記事「4方十字組手(3本組木)を作製しました!」[1] と同じタイトルです。
実は、4方十字組手(3本組木)には下記の2種類の方式があります。

1) 回転型
2) スライド型

ここでは詳細な説明は省きますが、両方式の差異は角材から4方十字組手(3本組木)を構成する際の技法の原理的差異としておきます。
以前書いた記事[1]は、前者の回転型4方十字組手(3本組木)でした。
今回の記事は、後者のスライド型4方十字組手(3本組木)に関しての記事です。

 まずはPhoto. 1をご覧ください。
これが、スライド型4方十字組手(3本組木)です。
回転型のものと比較するため1点支持[1]の設置をしています。
一点支持の設置とは、下面と接地するのは1個の角材のみの設置の仕方を呼びます[1]
回転型の場合と同様に、3本の角材から構成されています。
角材は、すべて30mm×15mm×200mmの桧材です。
回転式の場合は角材の断面形状が正方形でした。
しかしながら、スライド式の場合では長方形となります。
この点が両者の外観上の差異となります。
Photo.2をご覧ください。
ここでは、3点支持の設置[1]を取っています。

IMG_20180707_094126
Photo. 1  スライド型4方十字組手(3本組木):1点支持の設置

IMG_20180707_100218
Photo. 2  スライド型4方十字組手(3本組木):3点支持の設置

 回転型4方十字組手(3本組木)は、それ自他オーナメントにも適用できました[1]
しかしながらこのスライド型4方十字組手(3本組木)は、回転型のものと比較しますと立体図形としての幾何的形状の対称性が落ちるためそれ自体をオーナメントとするには少々難があります。
Photo.1の1点支持の置き方でも、Photo.2に示す3点支持の置き方でも対称性の劣化のため美しさにかけると思いませんか。
またスライド型4方十字組手(3本組木)は他のオーナメントの置台にも適用することが可能でした。
しかしながら、このスライド型4方十字組手(3本組木)はその対称性の欠如から他のオーナメントの置台にも適用するにも難があります。
試しに犬のオーナメントの置台としてみました。
Photo.3 をご覧ください。
回転型と比較しますと、対称性が落ちているため見劣りします。


IMG_20180707_100455
Photo. 3  スライド型4方十字組手(3本組木)の応用例

 いまこのスライド型4方十字組手(3本組木)の応用を構想しています。
幾つかの応用もあると考えています。
そのうち製品を作製した際には、別途ご案内させていただきます。

 なお回転型ならびにスライド型4方十字組手(3本組木)技法の原理に関しましては、説明図ができ次第新規の記事にさせていただきます。
その際に回転型スライド型という名称の内容をご理解いただけると考えています。

 
引用サイト

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nonchan

ブログデビューしたてのビギナーです。 定年リタイア後、ルーティンとして週5のウォーキングと週2のスイミングを課してます。 ブログでは、わたし流の生活から派生した事項を載せるつもりです。 まずは、ウォーキング中に撮影した自宅付近の植生の写真を載せます。 趣味の木工も掲載しようかと考えています。